Déterminer si un dé est pipé
Un dé est dit « pipé » si la loi n’est plus uniforme. Lorsque c’est intentionnel, on s’arrange pour qu’un résultat sorte plus fréquemment, ou au contraire moins fréquemment, les autres faces ayant la même probabilité d’apparition entre elles. S’il s’agit d’un défaut non intentionnel, chaque face va avoir une probabilité propre.
Si l’on jette le dé plusieurs fois de suite, on ne va pas obtenir une alternance stricte de valeurs. Par exemple, si l’on tire un dé deux fois de suite, on a 6 chances sur 36, soit 16,66… % de chances, d’obtenir deux fois le même résultat (chaque doublon a 1⁄36 chances d’apparaître, et il y a 6 doublons) ; dans un cas sur six, on obtient deux fois le même lancer. La fréquence observée pour chaque événement va se voir s’approcher de la fréquence théorique sur un grand nombre de lancer, par exemple 100.
Si l’on fait n lancers, pour savoir si le dé est équilibré (c’est-à-dire si l’on a effectivement 1⁄6 de chances d’avoir chaque figure), il faut utiliser un test du χ² d’adéquation à cinq degrés de liberté (puisqu’il y a six résultats mais que leurs probabilités sont complémentaires). Le nombre de lancers minimal est de 30 (5 divisé par la fréquence théorique, 1⁄6 = 0,166…, cf. Test du χ² > Conditions du test). Si l’on appelle Oi le nombre de lancers donnant le chiffre i, on a le tableau de résultats suivant :
Résultat de n lancers
Résultat Nombre d’occurrences
1 O1
2 O2
3 O3
4 O4
5 O5
6 O6
avec ∑i Oi = n
Le χ² est
La probabilité p que le dé soit équilibré est déterminée en fonction des valeurs tabulées du χ².
Loi du χ² à cinq degrés de liberté pour un test bilatéral
Fiabilité
(p) 99 %
(p = 0,99) 95 %
(p = 0,95) 90 %
(p = 0,9) 50 %
(p = 0,5) 10 %
(p = 0,1) 5 %
(p = 0,05) 1 %
(p = 0,01) 0,1 %
(p = 0,001)
χ² 0,55 1,15 1,61 4,35 9,24 11,07 15,09 20,52
Par exemple, si le χ² est inférieur ou égal à 0,55, le dé a 99 % de chances d’être équilibré (1 % de chances d’être pipé) ; si le χ² est supérieur ou égal à 15,09, le dé a 1 % de chances d’être équilibré (99 % de chances d’être pipé).
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Bon, ben je fais le calcul avec les résultats du test de mon dé blanc ...
11,949 !
Mon dé à 5 % de chances d'être équilibré.
Pas glop. Bannissement immédiat.
